6x6の正方形を2つの合同な図形に分割してみよう！

はじめに（自己紹介）

2024年6月29日　#30 日曜数学会・JuliaTokai #19

• 東京都板橋区 城北中学校・高等学校 に数学科の教員として勤務。2021年度より教頭です。
• 今回の発表は2024年6月9日に足立学園で行われた「男子中フェスタ　授業体験」の中で実施された内容です。

4x4の正方形を2つの合同な図形に分割してみよう

ルール説明

参加した子供達と探す

6x6の正方形を2つの合同な図形に分割してみよう

いろいろ探してみよう！

参加した子供達の作品

全部で何通りありのか？→今回もJulia言語を用いて調べてみます！

Julia言語のについて

今回，すべての場合を調べるのにjulia言語を利用しました。

https://julialang.org

Juliaは統計処理や科学技術計算、機械学習に強いプログラミング言語といわれています。 例えばStatsBase.jlやDistributions.jlなどのパッケージを使用すると、統計モデリングや仮説検定、回帰分析、時系列分析などの統計処理を行えます。

また，quartoというパブリッシング・システムを用いてWebページを作成しました。基本Markdownで，コードの読み込みも容易です。今回は利用していませんが，新たな数式処理のtypstも実装可能です。

成分が0と1の6x6の正方行列を作る

何も考えずに，0と1の成分の正方行列を作ると，約687億個の行列をチェックしなくてはなりません。これを調べるのはこれは厳しいです。だいたい，億を超えると厳しいです。

\[2^{36}=68,719,476,736\]

36個の成分で0と1が半分ずつ(18個ずつ)です。これで絞ってみます。約90億個となりました。少し減りましたが，億を超えてますね。

\[{}_{36}\text{C}_{18}=9,075,135,300\]

今回の分け方「2つの合同な図形」を考えると，行列の成分は点対称になります。なので，半分の18個の成分を決めれば，あとは定まります。約26万個となり，これなら計算できそうです！

\[2^{18}=262,144\]

さらに，[1,1]成分を1に限定すれば，半分の約13万個となります。

\[\dfrac{262,144}{2} = 131,072\]

• 組み合わせパッケージCombinatorics.jlを読み込み

using Combinatorics

• 0と1の成分を用意する。（A）

A = [0,1]

2-element Vector{Int64}:
 0
 1

• 0と1を合計6個並べた「列」を\(2^6=64\)個用意する。(B)

B =[]
for x ∈ A , y ∈ A, z ∈ A, u ∈ A, v ∈ A, w ∈ A
    push!(B,[x,y,z,u,v,w])
end
B

64-element Vector{Any}:
 [0, 0, 0, 0, 0, 0]
 [0, 0, 0, 0, 0, 1]
 [0, 0, 0, 0, 1, 0]
 [0, 0, 0, 0, 1, 1]
 [0, 0, 0, 1, 0, 0]
 [0, 0, 0, 1, 0, 1]
 [0, 0, 0, 1, 1, 0]
 [0, 0, 0, 1, 1, 1]
 [0, 0, 1, 0, 0, 0]
 [0, 0, 1, 0, 0, 1]
 [0, 0, 1, 0, 1, 0]
 [0, 0, 1, 0, 1, 1]
 [0, 0, 1, 1, 0, 0]
 ⋮
 [1, 1, 0, 1, 0, 0]
 [1, 1, 0, 1, 0, 1]
 [1, 1, 0, 1, 1, 0]
 [1, 1, 0, 1, 1, 1]
 [1, 1, 1, 0, 0, 0]
 [1, 1, 1, 0, 0, 1]
 [1, 1, 1, 0, 1, 0]
 [1, 1, 1, 0, 1, 1]
 [1, 1, 1, 1, 0, 0]
 [1, 1, 1, 1, 0, 1]
 [1, 1, 1, 1, 1, 0]
 [1, 1, 1, 1, 1, 1]

• Bからランダムに3列作る。
• [1,1]成分は1とする。
• 行列は点対称となるのでランダムな3列を180度回転し，1と0を入れ替える。(C)

C =[]
for x ∈ B , y ∈ B, z ∈ B
    X = [x y z ]
    if X[1,1] == 1
        Y = mod.(X .+1,2) |> rot180
        push!(C,[X Y])
    end
end
C

131072-element Vector{Any}:
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 [1 0 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 1 0]
 ⋮
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]

• 行列の例

C[5000]

6×6 Matrix{Int64}:
 1  0  0  0  1  0
 0  0  0  0  0  1
 0  1  0  0  0  1
 0  1  1  1  0  1
 0  1  1  1  1  1
 1  0  1  1  1  0

領域が連結しているかをチェック

このあとは，2つの合同な図形に分かれるということは，[1,1]の成分1から，1である18個の成分すべてが連結していなくてなりません。これをチェックすることにします。

• 領域が連結どのくらい連結しているか調べる関数conti_18を作成
• [1,1]成分と同じ色が何個連結しているかを調べる。

function conti_18(A::Matrix) #6x6の行列を入力　各成分は0,1
    k = A[1,1] # [1,1]成分
    Pack = [[1,1]] #連結する成分を加えていく
    t = 1 # パラメータ
    x = 18 # パラメータ
    while  t != x
        for i = 1:6,j=1:6
            if A[i,j] == k 
                if  [i-1,j] in Pack ||[i+1,j] in Pack ||[i,j-1] in Pack ||[i,j+1] in Pack  
                    push!(Pack,[i,j]) 
                end
            end
        end
        x = t
        t = Pack |> union |>length
    end
    P = Pack |> union
end

conti_18 (generic function with 1 method)

• 領域が18個続いているものだけを残す。(D)

D = []
for X in C
    if conti_18(X) |> length == 18
        push!(D,X)
    end
end

D

1018-element Vector{Any}:
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 1; 0 0 … 1 1; … ; 0 0 … 1 1; 0 0 … 0 0]
 ⋮
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]

だいぶん減りましたね。1018個です。

• 行列の例

D[500]

6×6 Matrix{Int64}:
 1  1  1  1  1  1
 1  1  0  0  0  0
 1  1  0  0  0  0
 1  1  1  1  0  0
 1  1  1  1  0  0
 0  0  0  0  0  0

回転・折り返しで重複をチェック

1,018個を見たところ，90度回転や折り返しで重なるものがあったのでそれらを除きます。(Dを置き直し)

X =[]
for i =  1:length(D)-1 , j = i+1:length(D)
    if D[i] == rotr90(D[j]) #右90度回転
        push!(X,D[i])
    elseif D[i] == rotl90(D[j]) #左90度回転
        push!(X,D[i])
    elseif D[i] == rotl90(D[j]') #左右折り返し
        push!(X,D[i])
    end

end

D = setdiff(D,X)

255-element Vector{Any}:
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 [1 1 … 1 0; 1 0 … 1 0; … ; 1 0 … 1 0; 1 0 … 0 0]
 ⋮
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]
 [1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0; … ; 1 1 … 0 0; 1 1 … 0 0]

255通りです。これで，重複はなさそうです！

図示の準備

• 描画パッケージPlots.jlを読み込み

using Plots

• 正方形のマス目のデータ作成する関数rect_numberを作る。

function rect_number(x::Int,y::Int)
    xval = [x-1,x,x,x-1,x-1]
    yval = [y-1,y-1,y,y,y-1]
    return xval,yval
end

rect_number (generic function with 1 method)

• 6x6のマス目の塗る関数draw_rectを作る。

# 
function draw_rect(A::Matrix , n=6 , k=0)
    plot(label=false,xlim=(0,n),ylim=(0,n),aspectratio=true,showaxis=false,framestyle=:box,ticks=0:1:n)
    for i = 1:n ,j = 1:n
        if mod(A[i,j],2) == 0
            plot!(rect_number(i,j),fill=true,color=:royalblue,label=false,alpha=.5) 
        else
            plot!(rect_number(i,j),fill=true,color=:Brown3,label=false,alpha=.5) 
        end
     end
    plot!(title = k)
end

draw_rect (generic function with 3 methods)

ギャラリー

1~50

plt = []

for  i =1:50
    push!(plt, draw_rect(D[i],6,i))
end

plot(plt...,layout=(10,5),size=(800,2400))

51~100

plt = []

for  i =51:100
    push!(plt, draw_rect(D[i],6,i))
end

plot(plt...,layout=(10,5),size=(800,2400))

101~150

plt = []

for  i =101:150
    push!(plt, draw_rect(D[i],6,i))
end

plot(plt...,layout=(10,5),size=(800,2400))

151~200

plt = []

for  i =151:200
    push!(plt, draw_rect(D[i],6,i))
end

plot(plt...,layout=(10,5),size=(800,2400))

201~255

plt = []

for  i =201:255
    push!(plt, draw_rect(D[i],6,i))
end

plot(plt...,layout=(11,5),size=(800,2400))